数字之最：世界上已知的最大完美数

世界上已知的最大完美数

高志向

前不久，来自美国佛罗里达州的互联网专家及数学爱好者帕特里克·拉罗什利用名为“互联网梅森素数大搜索（GIMPS）”的国际合作项目，成功发现了第51个完全数2^82589932（2^82589933-1）；该数有49724095位，是目前世界上已知的最大完美数。如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过200公里！

完美数（英文perfect number），又称完全数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完美数”。第一个完美数是6（=1+2+3），第二个完美数是28（=1+2+4+7+14），后面的完美数还有496、8128、33550336等。

公元前6世纪的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯是最早探究完美数的人，他已经知道6和28这两个自然数是完美数了。到了公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中首次给出了寻找完美数的方法，被数学界誉为欧几里得定理：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数)，则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。2^P-1型的素数被数学界称为梅森素数，它是以17世纪法国数学家马林·梅森命名的。

1730年，被称为“世界四大数学家雄狮”之一的瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理：每一个偶完美数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数，其中P是素数，2^P-1也是素数。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。

法国数学家、哲学家、物理学家勒内·笛卡尔曾公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完人亦非易事。”历史证实了他的预言。有趣的是，这些完美数都是偶数；其个位数要么是6，要么就是8。由于完美数具有独特美妙的数学性质，千百年来，许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。2600多年来，人们历尽艰辛，一共才找到51个完美数。由于完美数优美且稀少，它被誉为“数海明珠”。

由欧几里得-欧拉定理可知，人们只要找到一个梅森素数，就可以找到一个与其对应的偶完美数。梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大。它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探究的热点和难点之一。目前，全球有200多个国家和地区近25万人参加了GIMPS项目，并动用了超过247万核的中央处理器（CPU）联网来寻找新的梅森素数。

特别值得一提的是，人们在寻找梅森素数的同时，在基础研究上取得一些可喜的成绩。比如在素性判断方面，法国数学家爱德华·鲁卡斯和美国数学家德里克·雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。在分布规律研究方面，中国数学家、语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式；后来这一重大研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

完美数是否有无穷多个？是否存在奇完美数？这些都是数论中的著名难题。尽管我们现在还看不到完美数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律；探究自然规律，揭开科学上的未知之谜，正是科学追求的目标。